Comment répartir un capital sur un ensemble de valeurs

En considérant une bonne classe de valeurs mobilières, en partant de leur historique durant une période plus ou moins longue, surtout au niveau des moyennes et écarts-type réalisés, on peut réussir à répartir de façon optimale le capital qu'on veut investir.

La méthode consiste à déterminer la matrice des covariances entre les cours des différents titres, puis de chercher un vecteur propre associé à la principale valeur propre de cette matrice. En ramenant les différentes composantes du vecteur propre à l'unité, on chassera les composantes négatives ainsi réduites et on gardera celles qui sont positives; ce sont les coefficients de pondération des titres restants dans la composition du ptf optimal.

La recherche des valeurs propres des grandes matrices est heureusement aisée par PC, modulo une petite programmation itérante. Cependant, bien que cette façon de faire soit mathématiquement fascinante, elle n'a pas de sens au niveau statistique! Il est difficile de pouvoir interpréter dans ce contexte le sens de la notion de vecteur et valeur propres de la matrice normale!!

C'est pour cela que je propose une autre approche, laquelle consiste à chercher les coefficients de pondération qui assurent la stabilité du ptf, c'est-à-dire réalisant le plus petit écart-type possible.

En ce sens, si les C(i) désigne les cours des titres qu'on a choisis, les M(i) les moyennes associées et les a(i) les coefficients de pondération dans la composition du ptf, la valeur de ce PTF est donnée par la formule:

Cours=a(1)*C(1)+a(2)*C(2)+....+a(n)*C(n) avec a(1)*M(1)+a(2)*M(2)+....+a(n)*M(n)=Capital

et la variance globale à minimiser est la quantité E((a(1)*C(1)+a(2)*C(2)+....+a(n)*C(n))^2)

Cas simplifié où l'on suppose que la corrélation entre les titres est nulle, ce qui n'est pas le cas statistiquement, mais qui pourrait être accepté si l'on admet que le cours d'un titre est indépendant de celui d'un autre:

le nombre de titres à avoir sur le ptf est alors: Capital*M(i)/V(i)/A

où V(i) est la variance des cours du titre en question

et A=M(1)^2/V(1)+M(2)^2/V(2)+...+M(n)^2/V(n)

De cette formule on voit que plus la moyenne est grande, plus le nombre de titres est grand

et plus la variance est petite, plus le nombre de titres est grand.

Reste à rédiger le cas général

exposer comment on pourrait exploiter l'évolution des nombres de titres séance par séance pour analyser une valeur mobilière donnée.

A très bientôt alors...

Suite:

Cas général où l'on tient compte de la corrélation entre les cours quotidiens des titres:

ça se passe par l'intermédiaire de la matrice normale, celle des covariances qu'on va noter par C=(cov(Xi,Xj)) et D son inverse.

En notant M'=(M(1),M(2),...,M(n)) la matrice-uniligne des moyennes et M la matrice-unicolonne de ces mêmes moyennes (excusez pour les notations) et A=M'.D.M, la matrice-unicolonne des nombres de titres à avoir dans la composition du ptf est a=Capital.D.M/A




A suivre

Mr Asterix.
Un petit porteur n'a qu'à acheter une SICAV

Pelican a écrit:

Mr Asterix.
Un petit porteur n'a qu'à acheter une SICAV

Oui! C'est plus sûr pour lui!

Seulement, il ne connaîtra pas les plaisirs de boursicoter lui-même....

Hé! Tu veux nous faire comprendre que le masi n'a pas chuté pour les OPCVM?

Suite:

En plus de la composition de son ptf en utilisant l'une ou l'autre des deux formules précédentes, on pourra actualiser à la clôture de chaque séance les coefficients de pondération de tous les titres du ptf optimal sans même être obligé de l'avoir effectivement. On remarquera alors que ces coefficients auraient subi des variations positives ou négatives (et c'est tout à fait normal), ce qui permettra d'avoir une idée supplémentaire, disons comme un indice, sur le comportement des titres.

Ainsi, dès que le coefficient de pondération devient faible, il faut vendre. Le contraire est à faire si ce coefficient devient important.

En adoptant le cas simplifié où l'on ne tient pas compte des corrélations entre les valeurs mobilières, on risque de tomber sur la situation où les coefficients de pondération les plus importants sont octroyés aux valeurs les plus illiquides!!!

C'est pour cela, qu'il vaut mieux prendre la deuxième formule faisant intervenir la matrice des cov et de son inverse, malgré son aspect fastidieux au niveau des calculs... Mais les techniques mathématiques sont là pour nous aider dans cette tâche...

Suite:

Cependant, la première formule a l'avantage de permettre d'utiliser les quantités échangées pour calculer les moyennes et les écarts-type. Alors que pour la deuxième, on ne pourra utiliser ces quantités pour déterminer les covariances deux-à-deux!!